Minicursos
| Horário | 3/9/2007 (Segunda) | 4/9/2007 (Terça) | 5/9/2007 (quarta) | 6/9/2007 (quinta) |
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| 8:40 - 10:40 | MC3 - Pitangueira MC4 - Laranjeira MC5 - Goiabeira |
MC3 - Pitangueira MC4 - Laranjeira MC5 - Goiabeira |
MC3 - Pitangueira MC4 - Laranjeira MC5 - Goiabeira |
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| 12:00 - 14:00 | Almoço | Almoço | Almoço | Almoço |
| 14:00 - 16:00 | MC1 - Pitangueira MC2 - Laranjeira MC6 - Goiabeira |
MC1 - Pitangueira MC2 - Laranjeira MC6 - Goiabeira |
MC1 - Pitangueira MC2 - Laranjeira MC6 - Goiabeira |
- MC1 - Introdução à teoria espectral de grafos com aplicações
- MC2 - Modelagem e convexidade
- MC3 - Modelagem matemática em finanças quantitativas em tempo discreto
- MC4 - Programação não linear em dois níveis - aplicação em Engenharia Mecânica
- MC5 - Funções simétricas e aplicações em Combinatória
- MC6 - Semigrupos aplicados a sistemas dissipativos em EDP
MC1 - Introdução à teoria espectral de grafos com aplicações
Autores: Nair Maria Maia de Abreu (UFRJ), Renata R. Del-Vecchio (UFF), Dragan Stevanovic (U. of Nis, Sérvia) e Cybele T. M. Vinagre (UFF)
Resumo: Este minicurso apresenta uma introdução à Teoria Espectral de Grafos e mostra sua vinculação a diversos problemas de outras áreas.
Embora o marco inicial desta teoria seja o trabalho de Hückel (1931) em Química Quântica, foi a partir da tese de doutorado de Cvetkovic (1971) que a teoria de fato se consolidou. Até meados de 1980 cerca de 700 trabalhos nessa área foram publicados por matemáticos e químicos. Nos últimos anos, o número de publicações vem crescendo surpreendentemente.
Iniciamos o texto do minicurso apresentando noções fundamentais de teoria de grafos. O segundo capítulo, Teoria Espectral de Grafos, foi subdividido em cinco seções de acordo com as várias matrizes que se pode associar a um grafo. Nas duas seções iniciais abordamos a matriz de adjacência de um grafo. Na primeira, estudamos seu polinômio característico e espectro, verificando as propriedades de grafos refletidas por eles. Na segunda, analisamos grafos isomorfos e grafos coespectrais, tópicos de interesse em complexidade computacional. Na terceira seção, estudamos a matriz de incidência de um grafo e investigamos propriedades do espectro de seu grafo linha. Na seção seguinte, apresentamos a matriz laplaciana e introduzimos a noção de conectividade algébrica, identificada por um de seus autovalores, parâmetro utilizado em vulnerabilidade de redes. Na última seção deste capítulo, apresentamos a matriz laplaciana sem sinal e alguns resultados recentes sobre seu espectro.
O terceiro capítulo aborda a relação entre parâmetros de grafos, estabelecendo limites superiores e limites inferiores para alguns invariantes.
No quarto capítulo abordamos o problema do corte maximal em grafos, relacionando Teoria Espectral de Grafos à Otimização Combinatória.
No quinto capítulo apresentamos aplicações desta teoria à rede de transportes, a problemas em Química (níveis de energia do hidrocarboneto e presença de carbonos quaternários) em Biologia (RNA).
O uso de técnicas computacionais na teoria de grafos vem crescendo consideravelmente nos últimos anos. Um dos exemplos mais importantes é a prova computacional do Teorema das Quatro Cores. Muitos programas específicos vêm sendo desenvolvidos, capazes de determinar valores numéricos de invariantes de grafos, explorar simetrias, provar ou refutar conjecturas, etc. Desta forma, o sexto e último capítulo é dedicado ao NewGraph e trata de questões relativas à Teoria Espectral de Grafos investigadas através deste software.
Assumimos, como pré-requisito, conhecimentos básicos de Álgebra Linear. Os resultados não triviais e mais importantes para a teoria serão apresentados num apêndice.
Todos os capítulos serão complementados por uma lista de exercícios.
Esperamos com esse texto contribuir para despertar o interesse nesta área ainda pouco divulgada no Brasil.
MC2 - Modelagem e convexidade
Autores: Eduardo Cursi (INSA, Rouen) e Rubens Sampaio (PUC-Rio)
Resumo: O principal objetivo do minicurso é introduzir o conceito de convexidade para os alunos.
O objetivo secundário é desenvolver todos os conceitos no contexto de exemplos.
Escolhemos exemplos em modelagem de sistemas mecânicos, mas a literatura que trata outros tipos de exemplos será indicada nas Notas do minicurso.
Convexidade é um conceito fundamental em várias áreas de Matemática, como Otimização, Estatística, Economia, Análise Funcional, Modelagem Matemática, Teoria Constitutiva em Mecânica.
Para motivar os alunos o curso será construído usando alguns modelos mecânicos simples nos quais a noção de convexidade surge naturalmente. Na seqüência de exemplos introduziremos algumas equações constitutivas importantes que são descritas em termos de convexidade, por exemplo, o atrito de Coulomb e alguns comportamentos unilaterais (problemas de obstáculos).
Os modelos serão desenvolvidos de forma a resultar em uma equação, ou inequação, variacional que será aproximada numericamente.
Pré-requisitos: Álgebra Linear, Cálculo Vetorial.
MC3 - Modelagem matemática em finanças quantitativas em tempo discreto
Autores: Max O. Souza (UFF) e Jorge Zubelli (IMPA)
Resumo: O objetivo do curso é apresentar uma introdução a algumas das principais idéias de modelagem matemática tendo como pano de fundo o comportamento dos preços em um mercado e fenômenos aleatórios.
Entre os tópicos abordados, destacamos:
- Apresentação do modelo de árvore binomial para descrever ativos em um mercado. Este é o chamado modelo de Cox-Ross-Rubinstein (1979) que é amplamente utilizado no apreçamento de derivativos.
- Apresentação dos conceitos básicos de apreçamento dos instrumentos derivativos em tempo discreto. Isto inclui uma breve introdução aos conceitos de precificação via arbitragem.
- Definição dos conceitos básicos de carteiras, hedging, arbitragem e otimização de portfólios.
Tópicos adicionais:
- Obtenção da fórmula de Feynman-Kac em tempo discreto e aplicação à obtenção do preço de um derivativo. Esta parte apesar de acessível aos estudantes tem implicações profundas e conexões com diversas outras áreas da matemática.
- Dedução do modelo de Black-Scholes em tempo contínuo através da passagem ao limite. Apresentação informal da fórmula de Feynman-Kac.
O mini-curso em questão, apesar de accessível a alunos com formação básica em matemática (necessitando como pré-requisitos probabilidade elementar e cálculo), atinge pontos profundo da relação entre difusões e equações diferenciais parciais.
MC4 - Programação não linear em dois níveis - aplicação em Engenharia Mecânica
Autores: Ana Friedlander (UNICAMP), Eduardo Fancello (UFSC) e Suzana Lima de Campos Castro
Resumo: Apresentaremos as idéias fundamentais de programação não linear em dois níveis, considerando os aspectos teóricos e os algoritmos existentes. Uma aplicação à otimização do desenho de estruturas mecânicas será analisada.
MC5 - Funções simétricas e aplicações em Combinatória
Autores: José Plinio de Oliveira Santos (UNICAMP) e Robson da Silva (UNICAMP)
Resumo: O emprego de Funções Simétricas em diversas áreas de pesquisa em matemática pura e aplicada tem crescido nos últimos anos. Encontramos aplicações desta teoria, por exemplo, em enumeração de permutações, no estudo dos caracteres do grupo simétrico, na teoria de Pólya (enumeração sob a ação de grupos) e em física. No entanto, ainda não há no Brasil um texto que trate do assunto. Nosso objetivo ao escrever estas notas foi o de suprir esta lacuna.
Dividimos o presente trabalho em duas partes. Na primeira, apresentamos um estudo da álgebra das funções simétricas, o espaço vetorial, algumas de suas bases e matrizes de transição entre estas além de alguns exemplos. Na segunda parte, mostramos algumas das muitas aplicações da teoria vista anteriormente.
Para tanto, apresentamos o algoritmo RSK que é o elo de ligação entre as funções simétricas e algumas de suas aplicações. São apresentadas as funções simétricas monomial, elementar, homogêneas, soma de potências e de Schur. Cada conjunto de tais funções forma uma base para o espaço vetorial das funções simétricas sob os racionais. Algumas das propriedades combinatórias são exibidas na medida em que estas funções são apresentadas.
Como aplicações desta teoria apresentamos um estudo das partições planas via funções simétricas, enumeração de permutações e enumeração sob a ação de grupos.
MC6 - Semigrupos aplicados a sistemas dissipativos em EDP
Autor: Carlos Raposo da Cunha (UFSJ)
Resumo: A estabilidade de soluções de sistemas dissipativos é um ramo fértil para pesquisa em Equações Diferenciais Parciais, neste sentido várias técnicas são empregadas sempre adequadas aos modelos em questão. São bem conhecidos o método de Nakao, o método de Kormonick-Zuazua e o método de Energia. Neste curso iremos estudar um técnica recém introduzida na literatura, a qual consiste em explorar as propriedades dissipativas do semigrupo gerado pelo operador associado ao sistema. Nossa metodologia consistirá em fazer uma contextualização histórica, uma breve introdução da teoria de Semigrupos, apresentar o Método para obter estabilidade exponencial via Semigrupos e fazer aplicações a equação de ondas e também ao sistema de vigas de Timoshenko.
